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应用随机过程
课程名称：CUR204 应用随机过程Applied Stochastic Processes
课程性质：金融工程学专业必修，其他专业选修或根据专业培养方案确定。
学分课时：3学分，48课时
主讲教师：吴卫星教授 邓军讲师
所属院系：对外经济贸易大学金融学院金融工程系，
电话：64492635,E-mail：WXWU@UIBE.EDU.CN
教学对象：全校二年级及以上本科生或具有同等学力的学生
考核方式：平时测验（或作业成绩），每1-2周一次，主要考察学习进度
期末考试，闭卷考试，笔试。
其中平时成绩占40%，期末考试占60%
学术诚信：本课程对于学生的学术诚信的要求遵从《对外经济贸易大学学生违纪处分条例》、《对外经济贸易大学学生学习违纪处分实施细则》、《对外经济贸易大学考场纪律》的规定。
教学方式：课堂讲授占比80%，讨论占比20%。教学中要求理论联系实际，采用导入式教学和讨论教学法。教师将会使用多媒体教学。
出勤要求：遵从《对外经济贸易大学本科生课堂学习规范》，要求学生关闭一切电子设备；不能无故缺席上课；上课专心听讲，积极参与课堂讨论；课后认真复习课堂上讲授内容，独立完成教师布置的任务；并预习新课。学生缺勤不得多于总课时的四分之一。教师可以根据考勤情况决定学生是否可以参加考试、是否扣分。
一、 课程简介
应用随机过程是一门为经济、管理、金融相关专业本科二年级及以上学生设计的三学分课程。该课程主要讲授随“时间”演变随机现象相关的数学理论和方法及其在自然科学、工程技术和经济金融领域的应用。本课程的教学内容主要包括概率论基。约熬哂泻芮拷鹑诒尘暗募咐嗨婊：马尔可夫链；Poisson 过程；正态过程；Brown运动；离散时间鞅以及随机分析初步等。
二、 教学目标
本课程的定位是：帮助学生掌握随机过程的基本理论和在金融中的应用、培养学生对金融实践进行量化分析并提供解决方案的能力，掌握利用随机手段分析金融问题的正确方法和基本理念，为进一步学习金融学后续专业课程打下坚实的基础。
因此，本课程的教学目标是，通过该门课程的学习，使学生掌握随机过程的基本理论与实际应用的方法，熟悉对工程技术、经济管理等各专业的实际课题建立随机模型的思路、理论、方法，并了解近年来随机过程方法在金融中的应用。
三、 课程学习资料
1.指定教材：张波, 张景肖. 应用随机过程[M]. 清华大学出版社有限公司, 2004.
参考教材：伍海华, 杨德平, 随机过程. 随机过程: 金融资产定价之应用[M]. 中国金融出版社, 2002.
2.参考资料：
钱敏平, 龚光鲁. 随机过程论[M]. 北京大学出版社, 1997.
胡迪鹤. 随机过程论: 基础, 理论, 应用[M]. 武汉大学出版社, 2000.
严加安. 测度论讲义[M]. 科学出版社, 1998.
Ross S M. Stochastic processes[M]. New York: John Wiley & Sons, 1996.
Gardiner C W. Handbook of stochastic methods[M]. Berlin: Springer, 1985.
四、学习效果及达成途径
1.学习效果
通过本课程的学习，希望达成的学习效果如下：
1.立足于基本理论的介绍;
2.力图帮助同学掌握随机分析的基本思想和基本方法;
3.尽量阐述清楚基本概念及相应的背景;
4.尝试将各类随机过程与金融问题结合（如Black-Sholes-Merton公式）;
5.训练数学表述能力.
2.达成学习效果的途径
通过具体实例进行分析，探索确定性方法与随机方法的异同；课后阅读教师指定资料；按时完成期中作业；认真准备期末考试。
五、教学进度计划表
本课程教学周为16周，具体安排如下：
| 周次 |
课时 |
教学方式 |
内容提要 （包括讲授章、节、目，讨论题目，实验等内容） |
备注 |
|---|---|---|---|---|
| 1 |
3 |
课堂讲授 |
第一章 第一节 随机过程的概率论基。ㄒ唬 |
|
| 2 |
3 |
课堂讲授 |
第一章 第二节 随机过程的概率论基。ǘ） |
|
| 3 |
3 |
课堂讲授 |
第二章 第一节 随机过程的定义和分类 |
|
| 4 |
3 |
课堂讲授 |
第二章 第二节 随机过程的数字特征 |
|
| 5 |
3 |
课堂讲授 |
第二章 第三节 重要的随机过程简介（一） |
|
| 6 |
3 |
课堂讲授 |
第二章 第三节 重要的随机过程简介（二） |
实验 |
| 7 |
3 |
课堂讲授 |
第三章 第一节 马尔可夫链的定义和分类 |
|
| 8 |
3 |
课堂讲授 |
第三章 第二节 马尔可夫链的状态分类（一） |
|
| 9 |
3 |
课堂讲授 |
第三章 第二节 马尔可夫链的状态分类（二） |
|
| 10 |
3 |
课堂讲授 |
第三章 第三节 平稳分布和遍历性 |
|
| 11 |
3 |
课堂讲授 |
第三章 第四节 平稳分布和遍历性 |
|
| 12 |
3 |
课堂讲授 |
第三章 第五节 时间连续的马尔可夫链 |
实验 |
| 13 |
3 |
课堂讲授 |
第四章 第一节 鞅的定义 |
|
| 14 |
3 |
课堂讲授 |
第四章 第二节 鞅在金融中的应用 |
|
| 15 |
3 |
课堂讲授 |
第五章 第一节 Ito积分 |
|
| 16 |
3 |
课堂讲授 |
第六章 第二节 随机过程在金融中的应用 |
实验 |
六、 教学内容
随机过程的概率论基础
【教学目的和要求】
复习随机变量、分布函数、分布律和概率密度函数的概念，条件分布，函数的分布求法，常见的离散型与连续型分布，及多维随机变量的知识。
教学时数：2
复习随机变量的数学期望、方差、矩、协方差与协方差阵、相关系数的定义及计算。
掌握条件数学期望的求法，全期望公式的意义与应用。
掌握随机变量的特征函数的定义、性质与求法。
理解随机变量序列的各种收敛性。概率空间定义及其建：。
【基础知识】
概率空间、随机变量和分布函数
概率空间定义及其建：
随机变量及其分布
数字特征，矩母函数与特征函数
条件概率、条件期望和独立性
收敛性*
教学总时数：6
参考资料：教材《随机过程金融资产定价之应用》（伍海华等）第一章，参考书《应用随机过程（第三版）》（张波等）第一章。
作业与练习：
1. 什么是概率空间？在金融建模中如何选择合适的概率空间？
2. 什么是随机向量的维数？多维随机向量的概率空间如何定义？
3. 特征函数是什么？有何功能？
随机过程的基本概念和基本类型
【教学目的和要求】
掌握随机过程的背景、定义及分类。
掌握随机过程的一维、二维分布函数、有限维分布函数、均值函数、方差函数与协方差函数等重要的数字特征，以及随机过程的特征函数的定义与应用。
了解随机过程的按物理架构分类、按概率特性分类及几种常见随机过程，如二阶矩过程，正态随机过程，独立增量过程等。
【基础知识】
随机过程的定义和分类
随机过程的定义以及常用随机过程
随机过程的分类
随机过程的数字特征
重要的随机过程简介
教学总时数：12
参考资料：教材《随机过程金融资产定价之应用》（伍海华等）第二章，参考书《应用随机过程（第三版）》（张波等）第二章。
作业与练习：
设有随机过程
，其中A与B是相互独立的随机变量，均服从标准正态分布。求
的一维分布和二维分布。
已知随机过程
的均值函数
和协方差函数
，
是普通的函数（
），求随机过程
的均值函数和协方差函数。
设
。若已知二维随机变量
的协方差矩阵为
，求
的协方差函数。
泊松过程*
【教学目的和要求】
理解泊松过程的背景与定义，以及泊松过程的简单性质。
掌握泊松过程的均值函数、方差函数、协方差函数的求法与应用。
掌握到达时间间隔的分布函数、概率密度及有关概率的求法。
了解复合泊松过程背景，定义与示例，以及复合泊松过程的简单性质。
【基础知识】
泊松过程的定义及其性质
计数过程的定义以及常用计数过程
泊松过程的定义和概率性质
与泊松过程相联系的若干分布
泊松过程的推广
教学总时数：0-6
参考资料：教材《随机过程金融资产定价之应用》（伍海华等）第二章，参考书《应用随机过程（第三版）》（张波等）第三章。
作业与练习：
通过某十字路口的车流是一个泊松过程。设1min内没有车辆通过的概率为0.2，求2min内多于1辆车通过的概率。
设
是强度为
的泊松过程，定义随机过程
，常数
，求
的均值函数和相关函数。
设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流服从泊松过程，求2min内到达的顾客不超过3人的概率。
马尔科夫链
【教学目的和要求】
理解马尔可夫过程的背景与定义，马尔可夫过程的基本性质。
熟悉常见马尔可夫过程。
掌握马尔可夫链的背景、概念，常见马尔可链的定义与基本性质。
齐次马尔可夫链，非齐次马尔可夫链的一步、二步转移概率，多步转移概率求法，转移概率矩阵与C-K方程介绍。
了解马尔可夫链在金融学中的应用。
【基础知识】
基本概念
马尔科夫链定义及其建：
状态转移图和状态转移矩阵
状态的分类及性质
极限定理及平稳分布
马尔可夫链的应用
连续时间马尔可夫链*
转移概率和柯尔莫哥洛夫微分方程*
教学总时数：18
参考资料：教材《随机过程金融资产定价之应用》（伍海华等）第三章，参考书《应用随机过程（第三版）》（张波等）第五章。
作业与练习：
设有一质点在直线上作随机游动，其状态空间
。质点经一步自点i移到点i+1的概率为p，自点i移到点i-1的概率为1-p，
。状态0，m为吸收态（若质点到达
时，
就停留在零状态，此状态为吸收态）。求转移概率矩阵。
A种啤酒的广告改变广告方式后经市场调查发现：买A种啤酒及另三种啤酒B,C,D（设市场只有四种啤酒）的顾客每两个月的平均转移率如下：
设目前购买A,B,C,D四种啤酒的顾客的分布为，求半年后A种啤酒的占有市场份额。
鞅过程及其在金融中的应用
【教学目的和要求】
理解随机游动和鞅的背景与定义。
掌握停时理论及其实际应用。
熟悉随机游动与鞅对金融现象的刻画。
【基础知识】
基本概念
鞅定义及其建：
鞅和无套利之间的关系
鞅的停时理论及一个应用
一致可积性*
鞅收敛定理*
鞅过程在金融中的应用*
教学总时数：6
参考资料：教材《随机过程金融资产定价之应用》（伍海华等）第六章，参考书《应用随机过程（第三版）》（张波等）第六章。
作业与练习：
什么是鞅过程？
2. 鞅过程和随机游走之间有何关系？
3. 如何把一个不是鞅过程的过程转化成一个鞅过程？
随机积分及其在金融学中的应用
【教学目的和要求】
掌握伊藤积分过程。
教学时数：1
掌握伊藤积分公式。
理解布莱克－斯克尔斯模型，了解随机微分方程在期权定价中的应用。
【基础知识】
基本概念
随机积分定义及其建：
关于布朗运动的积分
伊藤积分公式
随机积分在金融学中的应用
教学总时数：0-6
参考资料：教材《随机过程金融资产定价之应用》（伍海华等）第8-9章，参考书《应用随机过程（第三版）》（张波等）第8-9章。
作业与练习：
什么是鞅过程？
2. 鞅过程和随机游走之间有何关系？
3. 如何把一个不是鞅过程的过程转化成一个鞅过程？
